Robust Stability of Fractional Order Memristive BAM Neural Networks with Mixed and Additive Time Varying Delays

Abstract

This paper is concerned with the problem of the robust stability of fractional-order memristive bidirectional associative memory (BAM) neural networks. Based on Lyapunov theory, fractional-order differential inequalities and linear matrix inequalities (LMI) are applied to obtain a robust asymptotical stability. Finally, numerical examples are presented.

1. Introduction

Fractional calculus has a long history of more than three hundred years. Fractional calculus can be considered as the generalization for traditional calculus, from the integer order to the arbitrary order [1], and it relates to the calculus of the integrals and derivatives of orders that may be real or complex. Very recently, a study concerning FNNs with mixed and additive time-varying delays has made this an active research topic. They discussed applications in various fields, such as viscoelastic systems, diffusion waves, quantitative finance, etc. [2,3,4,5,6,7,8,9].

The BAM neural network is a two-layer neural network which can generalize not only auto-associative memory, but also hetero-associative memory [10,11,12,13,14,15,16]. This has been widely applied in many fields, such as image processing, pattern recognition, automatic control, and optimization problems. With the development and application of memristors, BAM memristive neural networks have become an active area of research [17,18,19,20]. MBAMNNs are the combination of memristors and BAMNNs. By adjusting the connection weight matrice, they can simulate human brains better than traditional BAMNNs.

On the other hand, we know that signals transmitted from one point to another may pass through two sections of networks, and due to the changes in network transmission conditions, time delays have different features; therefore, there exists another kind of delay, named additive (successive) delay. Recently, a new model for neural networks with pair additive time-varying delays should be considered in [21]. By constructing some advanced techniques, a new asymptotic stability criterion for neural networks with two successive delay components is derived in [22]. Inspired by [23,24] we first consider systems with two additive delay components. As we all know, in the process of the realization of neural network circuits, time delay is inevitable, and the existence of time delay often causes system stability or deteriorates its performance [25,26,27,28,29].

In practice, the stability of a well-designed neural network system may often be destroyed by its unavoidable uncertainty, due to the existence of modeling error, external disturbance, and parameter fluctuation during implementation. Most results are related to the dynamical analysis of FONNs concentrated on robust stability [30,31,32,33,34,35]. One instinctive plan to manage this issue is to access the disturbance or effect of the disturbances from quantifiable variables, and thereafter, a control move can be made, in context of the disturbance estimate, to compensate for the effect of the disturbances. This essential idea can be ordinarily stretched out to manage uncertainties or unmodelled dynamics that could be considered as a part of the disturbance. When analyzing the stability of NNs, not only delay, but also parameter uncertainty, should be considered because of the existence of disturbances in the environment [36,37,38,39].

Motivated by the above discussions, we try to investigate the robust stability of fractional-order memristive BAM neural networks.

(1)

The proposed memristive BAM neural networks model contains mixed and additive time-varying delays.

(2)

The proposed main proofs are proved with the some effective analytical techniques.

(3)

A new sufficient criterion is derived in terms of LMI, which can be effectively solved in the LMI MATLAB toolbox.

(4)

Finally, we provide a numerical example.

2. Preliminaries

Definition 1

([40]). The Caputo derivative of the fractional order γ of the function $\mathsf{𝕙}\left(\mathsf{𝕥}\right)$ is given

$$\begin{array}{c}\hfill {}_0^C{\mathcal{D}}_{\mathsf{𝕥}}^{\gamma }\mathsf{𝕙}\left(\mathsf{𝕥}\right)=\frac{1}{\Gamma (m-\gamma )}{\int }_0^{\mathsf{𝕥}}{(\mathsf{𝕥}-\mathsf{𝕤})}^{m-\gamma -1}{\mathsf{𝕙}}^{\left(\mathsf{𝕞}\right)}\left(\mathsf{𝕤}\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}.\end{array}$$

in which $\mathsf{𝕞}-1<\gamma <\mathsf{𝕞}$.

Lemma 1

([41]). If $\mathcal{U}>0$ is a constant and $\mathcal{P},\mathcal{Q}$ are real matrices, then

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathcal{P}}^T\mathcal{Q}+{\mathcal{Q}}^T\mathcal{P}\le \mathcal{U}{\mathcal{P}}^T\mathcal{P}+{\mathcal{U}}^{-1}{\mathcal{Q}}^T\mathcal{Q}.\end{array}$$

Lemma 2

([41]). Given that $\mathcal{P},\mathcal{Q},\mathcal{R}$ are constant matrices, where $\mathcal{P}={\mathcal{P}}^T$, $\mathcal{Q}={\mathcal{Q}}^T$, then

$$\begin{array}{c}\hfill \left[\begin{array}{cc}\mathcal{P}& \mathcal{R}\\ {\mathcal{R}}^T& -\mathcal{Q}\end{array}\right]<0.\end{array}$$

iff $\mathcal{Q}>0$ and $\mathcal{P}+{\mathcal{RQ}}^{-1}{\mathcal{R}}^T<0$.

Lemma 3

([42]). Let ${\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}}\in {\mathcal{R}}^{\mathsf{𝕟}\times \mathsf{𝕟}},(\mathsf{𝕚}=0,1,....,\mathsf{𝕡})$ be symmetric matrices. The conditions on ${\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕚}=0,1,...,\mathsf{𝕡})$, ${\xi }^T{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}}\xi >0$, for all $\xi \ne 0$, such that ${\xi }^T{\mathcal{T}}_0\xi >0(\mathsf{𝕚}=1,2,..,\mathsf{𝕡})$ hold if there exist ${\tau }_{\mathsf{𝕚}}\ge 0,(\mathsf{𝕚}=1,2,..,\mathsf{𝕡})$ such that

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathcal{T}}_0-\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕡}}{\tau }_{\mathsf{𝕚}}{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}}>0.\end{array}$$

Lemma 4

([43]). Let $\mu (\wp ):\left[\mathsf{𝕒},\mathsf{𝕓}\right]\to {\mathcal{R}}^{\mathsf{𝕟}}$ be a scalar function with scalars $\mathsf{𝕒}<\mathsf{𝕓}$ and $\mathcal{S}$ is matrix then

$$\begin{array}{c}\hfill \left({\int }_{\mathsf{𝕒}}^{\mathsf{𝕓}}{\mu }^T(\wp )\mathsf{𝕕}\wp \right)\mathcal{S}\left({\int }_{\mathsf{𝕒}}^{\mathsf{𝕓}}\mu (\wp )\mathsf{𝕕}\wp \right)\le (\mathsf{𝕓}-\mathsf{𝕒}){\int }_{\mathsf{𝕒}}^{\mathsf{𝕓}}{\mu }^T(\wp )\mathcal{S}\mu (\wp )\mathsf{𝕕}\wp .\end{array}$$

Hypothesis 1.

The functions ${\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}(·)$ and ${\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}(·)$ satisfy

$$\begin{array}{c}\hfill |{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕩}\right)-{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕪}\right)|\le {\mathsf{𝕡}}_{\mathsf{𝕛}}|\mathsf{𝕩}-\mathsf{𝕪}|,\mathsf{𝕛}=1,2,..,\mathsf{𝕟},\\ \hfill |{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕩}\right)-{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕪}\right)|\le {\mathsf{𝕢}}_{\mathsf{𝕚}}|\mathsf{𝕩}-\mathsf{𝕪}|,\mathsf{𝕚}=1,2,..,\mathsf{𝕞}.\end{array}$$

3. Main Results

Consider fractional-order memristive BAM neural networks with additive and mixed time-varying delays,

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕣}}_{\mathsf{𝕚}}{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}({\Im }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)))\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}+{\mathcal{I}}_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right),\mathsf{𝕚}=1,....,\mathsf{𝕞}\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕞}}_{\mathsf{𝕛}}{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}+{\mathcal{J}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right),\mathsf{𝕛}=1,....,\mathsf{𝕟}\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(1)

where, ${\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)$ and ${\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)$ denote the state variable related to the 𝕚th and 𝕛th neurons. ${\left({\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right)}_{\mathsf{𝕟}\times \mathsf{𝕞}}$, ${\left({\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right)}_{\mathsf{𝕞}\times \mathsf{𝕟}}$ ${\left({\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right)}_{\mathsf{𝕟}\times \mathsf{𝕞}}$, ${\left({\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right)}_{\mathsf{𝕞}\times \mathsf{𝕟}}$${\left({\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right)}_{\mathsf{𝕟}\times \mathsf{𝕞}}$, ${\left({\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right)}_{\mathsf{𝕞}\times \mathsf{𝕟}}$ are connection weight matrices, ${\mathsf{𝕣}}_{\mathsf{𝕚}}>0$, ${\mathsf{𝕞}}_{\mathsf{𝕛}}>0$, are positive diagonal matrices. The external inputs are ${\mathcal{I}}_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)$ and ${\mathcal{J}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)$. ${\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)$, ${\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)$, ${\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)$ and ${\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)$ can be assumed by

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}\hfill & 0\le {\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)\le {\sigma }_1,{\dot{\sigma }}_1\le {\delta }_1,0\le {\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\le {\sigma }_2,{\dot{\sigma }}_2\le {\delta }_2,\hfill \\ & 0\le {\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)\le {\alpha }_1,{\dot{\eta }}_1\le {\alpha }_1,0\le {\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\le {\alpha }_2,{\dot{\eta }}_2\le {\alpha }_2.\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

By using differential inclusion theory, the above system becomes

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕣}}_{\mathsf{𝕚}}{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}co\left[{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}co\left[{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}({\Im }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)]\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}co\left[{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}\right]+{\mathcal{I}}_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & -{\mathsf{𝕞}}_{\mathsf{𝕛}}{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}co\left[{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}co\left[{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)\right]\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}co\left[{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}\right]+{\mathcal{J}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(2)

Furthermore, let just for efficiency

$$\begin{array}{cc}\hfill co\left[{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& ={\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)& ={\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}& ={\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& ={\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)& ={\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}& ={\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \end{array}$$

The equilibrium point ${\varrho }^{*}={({\varrho }_1^{*},{\varrho }_2^{*},...,{\varrho }_{\mathsf{𝕟}}^{*})}^T,$ ${\chi }^{*}={({\chi }_1^{*},{\chi }_2^{*},...,{\chi }_{\mathsf{𝕞}}^{*})}^T,$ of neural networks (2) to the origin. This transformation ${\varrho }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)={\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\wp }_{\mathsf{𝕚}}^{*},{\chi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)={\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\Im }_{\mathsf{𝕛}}^{*}$ put neural networks (2) into

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕣}}_{\mathsf{𝕚}}{\varrho }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕕}}({\varrho }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right))+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\varrho }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\varrho }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\mathsf{𝕚}=1,2,...,\mathsf{𝕞},\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }{\chi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕞}}_{\mathsf{𝕛}}{\chi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\chi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\chi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\chi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\mathsf{𝕛}=1,2,...,\mathsf{𝕟}.\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(3)

The compact form is

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{R}\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕕}}\left(\varrho \right(\mathsf{𝕥}\left)\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕓}}\left(\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕒}}\left(\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{M}\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕟}}\left(\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕔}}\left(\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕖}}\left(\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(4)

The system (4) initial condition is considered to be

$$\begin{array}{c}\hfill \varrho \left(\mathsf{𝕤}\right)=\Psi \left(\mathsf{𝕤}\right)\in {\mathcal{R}}^{\mathsf{𝕟}},\chi \left(\mathsf{𝕤}\right)=\varphi \left(\mathsf{𝕤}\right)\in {\mathcal{R}}^{\mathsf{𝕞}}.\end{array}$$

(5)

Theorem 1.

The equilibrium of system (4) is globally robust and asymptotically stable if there exist real matrices ${\mathcal{P}}_1$, ${\mathcal{Q}}_1$, such that:

$$\begin{array}{cc}\hfill & -2{\mathcal{P}}_1\mathcal{R}+{\mathcal{P}}_1{\mathcal{U}}_1{\mathcal{P}}_1+\mu {\mathcal{D}}^T{\mathcal{U}}_1^{-1}\mathcal{D}\mu +{\mathcal{P}}_1{\mathcal{U}}_2{\mathcal{P}}_1\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}& +\mu {\mathcal{B}}^T{\mathcal{U}}_2^{-1}\mathcal{B}\mu +{\mathcal{P}}_1{\mathcal{U}}_3{\mathcal{P}}_1+\mu {\mathcal{A}}^T{\mathcal{U}}_3^{-1}\mathcal{A}\mu <0,\hfill \\ \hfill & -2{\mathcal{Q}}_1\mathcal{M}+{\mathcal{Q}}_1{\mathcal{U}}_4{\mathcal{Q}}_1+\beta {\mathcal{N}}^T{\mathcal{U}}_4^{-1}\mathcal{N}\beta +{\mathcal{Q}}_1{\mathcal{U}}_5{\mathcal{Q}}_1\hfill \end{array}$$

(6)

$$\begin{array}{cc}& +\beta {\mathcal{C}}^T{\mathcal{U}}_5^{-1}\mathcal{C}\beta +{\mathcal{Q}}_1{\mathcal{U}}_6{\mathcal{Q}}_1+\beta {\mathcal{E}}^T{\mathcal{U}}_6^{-1}\mathcal{E}\beta <0\hfill \end{array}$$

(7)

Proof. Define a Lyapunov functional

$$\begin{array}{c}\hfill \mathcal{V}\left(\mathsf{𝕥}\right)=\sum _{\mathsf{𝕜}=1}^2{\mathcal{V}}_{\mathsf{𝕜}}\left(\mathsf{𝕥}\right),\end{array}$$

(8)

where,

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathcal{V}}_1\left(\mathsf{𝕥}\right)& ={\mathcal{D}}^{-(1-\alpha )}\left[{\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{P}}_1\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\right],\hfill \\ \hfill {\mathcal{V}}_2\left(\mathsf{𝕥}\right)& ={\mathcal{D}}^{-(1-\alpha )}\left[{\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{Q}}_1\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right],\hfill \end{array}$$

Taking the time derivative of $\mathcal{V}\left(\mathsf{𝕥}\right)$ along the trajectories of (4) and using Lemma 2, we obtain

$$\begin{array}{cc}\hfill {\dot{\mathcal{V}}}_1\left(\mathsf{𝕥}\right)& =2{\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{P}}_1\{-\mathcal{R}\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕕}}\left(\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕓}}\left(\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕒}}\left(\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\}\hfill \\ \hfill {\dot{\mathcal{V}}}_2\left(\mathsf{𝕥}\right)& =2{\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{P}}_2\{-\mathcal{M}\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕟}}\left(\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕔}}\left(\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕖}}\left(\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\}\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\hfill 2{\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{P}}_1{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕕}}\left(\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& \le {\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{P}}_1{\mathcal{U}}_1{\mathcal{P}}_1\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill \\ & +{\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right)\mu {\mathcal{D}}^T{\mathcal{U}}_1^{-1}\mathcal{D}\mu \varrho \left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ \hfill 2{\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{P}}_1{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕓}}\left(\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& \le {\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{P}}_1{\mathcal{U}}_2{\mathcal{P}}_1\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill \\ & +{\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right)\mu {\mathcal{B}}^T{\mathcal{U}}_2^{-1}\mathcal{B}\mu \varrho \left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ \hfill 2{\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{P}}_1{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕒}}\left(\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& \le {\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{P}}_1{\mathcal{U}}_3{\mathcal{P}}_1\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill \\ & +{\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right)\mu {\mathcal{A}}^T{\mathcal{U}}_3^{-1}\mathcal{A}\mu \varrho \left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ \hfill 2{\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{Q}}_1{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕟}}\left(\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& \le {\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{Q}}_1{\mathcal{U}}_4{\mathcal{Q}}_1\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill \\ & +{\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right)\beta {\mathcal{N}}^T{\mathcal{U}}_4^{-1}\mathcal{N}\beta \chi \left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ \hfill 2{\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{Q}}_1{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕔}}\left(\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& \le {\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{Q}}_1{\mathcal{U}}_5{\mathcal{Q}}_1\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill \\ & +{\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right)\beta {\mathcal{C}}^T{\mathcal{U}}_5^{-1}\mathcal{C}\beta \chi \left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ \hfill 2{\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{Q}}_1{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕖}}\left(\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& \le {\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right){\mathcal{Q}}_1{\mathcal{U}}_6{\mathcal{Q}}_1\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill \\ & +{\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right)\beta {\mathcal{E}}^T{\mathcal{U}}_6^{-1}\mathcal{E}\beta \chi \left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \end{array}$$

Substituting, we obtain

$$\begin{array}{cc}\hfill \dot{\mathcal{V}}\left(\right(\mathsf{𝕥}\left)\right)& \le {\varrho }^T\left(\mathsf{𝕥}\right)\{-2{\mathcal{P}}_1\mathcal{R}+{\mathcal{P}}_1{\mathcal{U}}_1{\mathcal{P}}_1+\mu {\mathcal{D}}^T{\mathcal{U}}_1^{-1}\mathcal{D}\mu +{\mathcal{P}}_1{\mathcal{U}}_2{\mathcal{P}}_1\hfill \\ & +\mu {\mathcal{B}}^T{\mathcal{U}}_2^{-1}\mathcal{B}\mu +{\mathcal{P}}_1{\mathcal{U}}_3{\mathcal{P}}_1+\mu {\mathcal{A}}^T{\mathcal{U}}_3^{-1}\mathcal{A}\mu \}\varrho \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill \\ & +{\chi }^T\left(\mathsf{𝕥}\right)\{-2{\mathcal{Q}}_1\mathcal{M}+{\mathcal{Q}}_1{\mathcal{U}}_4{\mathcal{Q}}_1+\beta {\mathcal{N}}^T{\mathcal{U}}_4^{-1}\mathcal{N}\beta +{\mathcal{Q}}_1{\mathcal{U}}_5{\mathcal{Q}}_1\hfill \\ & +\beta {\mathcal{C}}^T{\mathcal{U}}_5^{-1}\mathcal{C}\beta +{\mathcal{Q}}_1{\mathcal{U}}_6{\mathcal{Q}}_1+\beta {\mathcal{E}}^T{\mathcal{U}}_6^{-1}\mathcal{E}\beta \}\chi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill \end{array}$$

$\dot{\mathcal{V}}\left(\mathsf{𝕥}\right)<0.$ As a result, the equilibrium point of (4) is determined to be globally robustly stable. The proof is now completed.  □

Remark 1. System (1) is the drive  system, followed by the response system being

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕣}}_{\mathsf{𝕚}}{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)))\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}+{\mathcal{I}}_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕞}}_{\mathsf{𝕛}}{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right){\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}+{\mathcal{J}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right).\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(9)

The memristive connection weights ${\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right))$, ${\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$, ${\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)$ will change with time. Then, we let

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}}.\hfill \end{array}\right.\hfill \end{array}$$

Using the differential inclusion theory, the above systems can be rewritten as

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕣}}_{\mathsf{𝕚}}{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}co\left[{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}co\left[{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}({\Im }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)))\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}co\left[{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}+{\mathcal{I}}_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕞}}_{\mathsf{𝕛}}{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}co\left[{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}co\left[{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}({\wp }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)))\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}co\left[{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}+{\mathcal{J}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right).\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(10)

and

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕣}}_{\mathsf{𝕚}}{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}co\left[{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right))\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}co\left[{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)))\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}\mathsf{𝕔}o[{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right))\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}\hfill \\ & +{\mathcal{I}}_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+U_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕞}}_{\mathsf{𝕛}}{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}co\left[{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right))\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}co\left[{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)\hfill \\ & +\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}co\left[{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}\hfill \\ & +{\mathcal{J}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+V_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right).\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(11)

with

$$\begin{array}{cc}\hfill co\left[{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\{{\widehat{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},{\check{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\{{\widehat{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},{\check{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\{{\widehat{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},{\check{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\left\{{\widehat{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},{\check{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\right\},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕕}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o{\widehat{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},{\check{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕒}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\{{\widehat{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},{\check{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕓}}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}},\hfill & |{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathsf{𝕚}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\{{\widehat{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},{\check{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\{{\widehat{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},{\check{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\{{\widehat{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},{\check{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\left\{{\widehat{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},{\check{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\right\},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\hfill co\left[{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\{{\widehat{\mathsf{𝕔}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},{\check{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕟}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]& =\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|<{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ \mathsf{𝕔}o\{{\widehat{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},{\check{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|={\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}},\hfill \\ {\check{\mathsf{𝕖}}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}},\hfill & |{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathsf{𝕛}}.\hfill \end{array}\right.\hfill \end{array}$$

For the sake of convenience, let

$$\begin{array}{cc}\hfill co\left[{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& ={\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)& ={\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}& ={\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& ={\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right))-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)))& ={\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}& ={\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& ={\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)& ={\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}& ={\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& ={\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)& ={\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right),\hfill \\ \hfill co\left[{\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\right]{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕚}}\left({\mathsf{𝕣}}_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}& ={\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right).\hfill \end{array}$$

Before processing our main results, we set ${\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)={\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)$${\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)={\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)$, then, the synchronization error system is

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }{\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕣}}_{\mathsf{𝕚}}{\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & -\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕟}}{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+U\left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }{\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-{\mathsf{𝕞}}_{\mathsf{𝕛}}{\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & -\sum _{\mathsf{𝕛}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-\sum _{\mathsf{𝕚}=1}^{\mathsf{𝕞}}{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+V\left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(12)

By using Hypothesis 1, we have,

$$\begin{array}{cc}\hfill |{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)|& \le {\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}{\mathsf{𝕡}}_{\mathsf{𝕛}}|{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|,\hfill \\ \hfill & \le {\mathsf{𝕕}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}{\mathsf{𝕡}}_{\mathsf{𝕛}}\left|{\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right|,\hfill \\ \hfill |{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)|& \le {\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}{\mathsf{𝕡}}_{\mathsf{𝕛}}|{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))-{\Im }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))|,\hfill \\ \hfill & \le {\mathsf{𝕓}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}{\mathsf{𝕡}}_{\mathsf{𝕛}}\left|{\psi }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right|,\hfill \\ \hfill |{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-{\mathsf{𝕙}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)|& \le {\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}{\mathsf{𝕡}}_{\mathsf{𝕛}}{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}|{\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}-{\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}|,\hfill \\ \hfill & \le {\mathsf{𝕒}}_{\mathsf{𝕛}\mathsf{𝕚}}{\mathsf{𝕡}}_{\mathsf{𝕛}}{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}\left|{\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right|\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤},\hfill \\ \hfill |{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)|& \le {\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}{\mathsf{𝕢}}_{\mathsf{𝕚}}|{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|,\hfill \\ \hfill & \le {\mathsf{𝕟}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}{\mathsf{𝕢}}_{\mathsf{𝕚}}\left|{\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right|,\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\hfill |{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)|& \le {\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}{\mathsf{𝕢}}_{\mathsf{𝕚}}|{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))-{\wp }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))|,\hfill \\ \hfill & \le {\mathsf{𝕔}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}{\mathsf{𝕢}}_{\mathsf{𝕚}}\left|{\varpi }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right|,\hfill \\ \hfill |{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\mathsf{𝕤}}_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)-{\mathsf{𝕘}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\Im }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)|& \le {\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}{\mathsf{𝕢}}_{\mathsf{𝕚}}{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}|{\varsigma }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)-{\wp }_{\mathsf{𝕚}}\left(\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)|\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤},\hfill \\ \hfill & \le {\mathsf{𝕖}}_{\mathsf{𝕚}\mathsf{𝕛}}{\mathsf{𝕢}}_{\mathsf{𝕚}}{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}\left|{\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right|\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤},\hfill \end{array}$$

The compact form of (12) is

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }\varpi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{R}\varpi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)\hfill \\ & +{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}+U\left(\mathsf{𝕥}\right),\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }\psi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{M}\psi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)\hfill \\ & +{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}+V\left(\mathsf{𝕥}\right).\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

When $\mathsf{𝕌}\left(\mathsf{𝕥}\right),\mathsf{𝕍}\left(\mathsf{𝕥}\right)=0$, then the system decreases to

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }\varpi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{R}\varpi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)\hfill \\ & +{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤},\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }\psi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{M}\psi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right)\hfill \\ & +{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}.\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(13)

Theorem 2.

Under Hypothesis 1, the real matrices are ${\mathcal{R}}_1$, ${\mathcal{R}}_2$, ${\mathcal{R}}_3$, ${\mathcal{R}}_4$, ${\mathcal{Z}}_1$, ${\mathcal{Z}}_2$, ${\mathcal{T}}_1$, ${\mathcal{T}}_2$, ${\mathcal{T}}_3$, ${\mathcal{T}}_4$, ${\mathcal{T}}_5$, ${\mathcal{T}}_6$, ${\mathcal{W}}_1$, ${\mathcal{W}}_2$, ${\mathcal{W}}_3$, ${\mathcal{W}}_4$, ${\mathcal{W}}_5$, ${\mathcal{W}}_6$, ${\mathcal{W}}_7$, ${\mathcal{W}}_8$, such that the following LMIs holds

$$\begin{array}{c}\hfill \Phi =diag({\Phi }_{1,1},....,{\Phi }_{11,11})<0,\end{array}$$

(14)

$$\begin{array}{c}\hfill \Psi =diag({\Psi }_{1,1},....,{\Psi }_{11,11})<0,\end{array}$$

(15)

where

$$\begin{array}{cc}\hfill {\Phi }_{1,1}& =-2{\mathcal{RR}}_1+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{U}}_1{\mathcal{R}}_1+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{U}}_2{\mathcal{R}}_1+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{U}}_3{\mathcal{R}}_1+\beta {\mathcal{N}}^T{\mathcal{U}}_4^{-1}\mathcal{N}\beta \hfill \\ & +{\sigma }_1^2{\mathcal{R}}_3+{\upsilon }^2{\mathcal{W}}_7+{\mathcal{Q}}_1+{\sigma }_2^2{\mathcal{R}}_4+{\mathcal{T}}_1+{\mathcal{T}}_2+{\mathcal{T}}_3+{\mathcal{T}}_4+{\mathcal{T}}_5+{\mathcal{T}}_6,\hfill \\ \hfill {\Phi }_{2,2}& =\beta {\mathcal{C}}^T{\mathcal{U}}_5^{-1}\mathcal{C}\beta -{\mathcal{Q}}_1,{\Phi }_{3,3}=-{\mathcal{T}}_1(1-{\alpha }_1-{\alpha }_2),\hfill \\ \hfill {\Phi }_{4,4}& =-{\mathcal{T}}_2(1-{\alpha }_1),{\Phi }_{5,5}=-{\mathcal{T}}_3(1-{\alpha }_2),{\Phi }_{6,6}=-{\mathcal{T}}_4,\hfill \\ \hfill {\Phi }_{7,7}& =-{\mathcal{T}}_5,{\Phi }_{8,8}=-{\mathcal{T}}_6,{\Phi }_{9,9}=\beta {\mathcal{E}}^{\mathcal{T}}{\mathcal{U}}_6^{-1}\mathcal{E}\beta -{\mathcal{W}}_7,\hfill \\ \hfill {\Phi }_{10,10}& =-{\mathcal{R}}_3,{\Phi }_{11,11}=-{\mathcal{R}}_4.\hfill \end{array}$$

and

$$\begin{array}{cc}\hfill {\Psi }_{1,1}& =-2{\mathcal{MR}}_2+{\mathcal{R}}_2{\mathcal{U}}_4{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_2{\mathcal{U}}_5{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_2{\mathcal{U}}_6{\mathcal{R}}_2+\mu {\mathcal{D}}^T{\mathcal{U}}_1^{-1}\mathcal{D}\mu \hfill \\ & +{\eta }_1^2{\mathcal{Z}}_1+{\tau }^2{\mathcal{W}}_8+{\mathcal{Q}}_2+{\eta }_2^2{\mathcal{Z}}_2+{\mathcal{W}}_1+{\mathcal{W}}_2+{\mathcal{W}}_3+{\mathcal{W}}_4+{\mathcal{W}}_5+{\mathcal{W}}_6,\hfill \\ \hfill {\Psi }_{2,2}& =\mu {\mathcal{B}}^T{\mathcal{U}}_2^{-1}\mathcal{B}\mu -{\mathcal{Q}}_2,{\Psi }_{3,3}=-{\mathcal{W}}_1(1-{\delta }_1-{\delta }_2),\hfill \\ \hfill {\Psi }_{4,4}& =-{\mathcal{W}}_2(1-{\delta }_1),{\Psi }_{5,5}=-{\mathcal{W}}_3(1-{\delta }_2),{\Psi }_{6,6}=-{\mathcal{W}}_4,{\Psi }_{7,7}=-{\mathcal{W}}_5,\hfill \\ \hfill {\Psi }_{8,8}& =-{\mathcal{W}}_6,{\Psi }_{9,9}=\mu {\mathcal{A}}^T{\mathcal{U}}_3^{-1}\mathcal{A}\mu -{\mathcal{W}}_8,{\Psi }_{10,10}=-{\mathcal{Z}}_1,{\Psi }_{11,11}=-{\mathcal{Z}}_2.\hfill \end{array}$$

then the system (13) is globally asymptotically stable.

Appendix A contains the detailed proof of Theorem 8.

Remark 2.

When ${\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)={\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)=\sigma \left(\mathsf{𝕥}\right)$, system (13) correspondingly decreases to

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }\varpi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{R}\varpi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-\sigma \left(\mathsf{𝕥}\right))\right)+{\int }_{\mathsf{𝕥}-\tau \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕒}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤},\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }\psi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{M}\psi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)\hfill \\ & +{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕔}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-\eta \left(\mathsf{𝕥}\right))\right)+{\int }_{\mathsf{𝕥}-\upsilon \left(\mathsf{𝕥}\right)}^{\mathsf{𝕥}}{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕖}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕤}\right)\right)\mathsf{𝕕}\mathsf{𝕤}.\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(16)

Theorem 3.

Under Hypothesis 1, the real matrices are ${\mathcal{Z}}_1$, ${\mathcal{Z}}_2$ ${\mathcal{R}}_3$, ${\mathcal{R}}_4$, ${\mathcal{Q}}_1$, ${\mathcal{Y}}_1$, ${\mathcal{T}}_7$, ${\mathcal{W}}_7$, such that the following LMIs hold,

$$\begin{array}{c}\hfill \Lambda =diag({\Lambda }_{1,1},....,{\Lambda }_{5,5})<0,\end{array}$$

(17)

$$\begin{array}{c}\hfill {\rm Y}=diag({{\rm Y}}_{1,1},....,{{\rm Y}}_{5,5})<0,\end{array}$$

(18)

$$\begin{array}{cc}\hfill {\Lambda }_{1,1}& =-2{\mathcal{RR}}_3+{\mathcal{R}}_3{\mathcal{U}}_7{\mathcal{R}}_3+{\mathcal{R}}_3{\mathcal{U}}_8{\mathcal{R}}_3+{\mathcal{R}}_3{\mathcal{U}}_9{\mathcal{R}}_3+\beta {\mathcal{N}}^T{\mathcal{U}}_{10}^{-1}\mathcal{N}\beta +{\sigma }^2{\mathcal{Q}}_1\hfill \\ & +{\mathcal{T}}_7+{\upsilon }^2{\mathcal{Z}}_1+{\mathcal{R}}_1,{\Lambda }_{2,2}=\beta {\mathcal{C}}^T{\mathcal{U}}_{11}^{-1}\mathcal{C}\beta -{\mathcal{R}}_1,{\Lambda }_{3,3}=\beta {\mathcal{E}}^T{\mathcal{U}}_{12}^{-1}\mathcal{E}\beta -{\mathcal{Z}}_1,\hfill \\ \hfill {\Lambda }_{4,4}& =-{\mathcal{Q}}_1,{\Lambda }_{5,5}=-{\mathcal{T}}_7.\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\hfill {{\rm Y}}_{1,1}& =-2{\mathcal{MR}}_4+{\mathcal{R}}_4{\mathcal{U}}_{10}{\mathcal{R}}_4+{\mathcal{R}}_4{\mathcal{U}}_{11}{\mathcal{R}}_4+{\mathcal{R}}_4{\mathcal{U}}_{12}{\mathcal{R}}_4+\mu {\mathcal{D}}^T{\mathcal{U}}_7^{-1}\mathcal{D}\mu +{\eta }^2{\mathcal{Y}}_1+{\mathcal{W}}_7\hfill \\ & +{\tau }^2{\mathcal{Z}}_2+{\mathcal{R}}_2,{{\rm Y}}_{2,2}=\mu {\mathcal{B}}^T{\mathcal{U}}_8^{-1}\mathcal{B}\mu -{\mathcal{R}}_2,{{\rm Y}}_{3,3}=\mu {\mathcal{A}}^T{\mathcal{U}}_9^{-1}\mathcal{A}\mu -{\mathcal{Z}}_2,\hfill \\ \hfill {{\rm Y}}_{4,4}& =-{\mathcal{Y}}_1,{{\rm Y}}_{5,5}=-{\mathcal{W}}_7.\hfill \end{array}$$

then, system (16) is globally asymptotically stable.

Appendix B contains the detailed proof of Theorem 10.

Remark 3.

When ${\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕒}}={\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕖}}=0$, the system (13) correspondingly decreases to

$$\begin{array}{c}\hfill \left\{\begin{array}{cc}{\mathcal{D}}^{\alpha }\varpi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{R}\varpi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕕}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{H}}_{\mathsf{𝕓}}\left({\psi }_{\mathsf{𝕛}}(\mathsf{𝕥}-{\sigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\sigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right))\right),\hfill \\ {\mathcal{D}}^{\alpha }\psi \left(\mathsf{𝕥}\right)\hfill & =-\mathcal{M}\psi \left(\mathsf{𝕥}\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕟}}\left({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)+{\mathcal{G}}_{\mathsf{𝕔}}({\varpi }_{\mathsf{𝕚}}(\mathsf{𝕥}-{\eta }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)-{\eta }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)).\hfill \end{array}\right.\end{array}$$

(19)

Theorem 4.

Under Hypothesis 1, the real matrices are ${\mathcal{R}}_1$, ${\mathcal{R}}_2$, ${\mathcal{T}}_1$, ${\mathcal{T}}_2$, ${\mathcal{T}}_3$, ${\mathcal{T}}_4$, ${\mathcal{T}}_5$, ${\mathcal{T}}_6$, ${\mathcal{W}}_1$, ${\mathcal{W}}_2$, ${\mathcal{W}}_3$, ${\mathcal{W}}_4$, ${\mathcal{W}}_5$, ${\mathcal{W}}_6$ such that the following LMIs hold

$$\begin{array}{c}\hfill \xi =diag({\xi }_{1,1},....,{\xi }_{8,8})<0,\end{array}$$

(20)

$$\begin{array}{c}\hfill \pi =diag({\pi }_{1,1},....,{\pi }_{8,8})<0,\end{array}$$

(21)

$$\begin{array}{cc}\hfill {\xi }_{1,1}& =-2{\mathcal{RR}}_1+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{U}}_1{\mathcal{R}}_1+{\mathcal{R}}_1{\mathcal{U}}_2{\mathcal{R}}_1+{\mathcal{T}}_1+{\mathcal{T}}_2+{\mathcal{T}}_3+{\mathcal{T}}_4+{\mathcal{T}}_5+{\mathcal{T}}_6+{\mathcal{Q}}_1\hfill \\ & +\beta {\mathcal{N}}^T{\mathcal{U}}_4^{-1}\mathcal{N}\beta ,{\xi }_{2,2}=\beta {\mathcal{C}}^T{\mathcal{U}}_5^{-1}C\beta -{\mathcal{Q}}_1,{\xi }_{3,3}=-{\mathcal{T}}_1(1-{\alpha }_1-{\alpha }_2),\hfill \\ \hfill {\xi }_{4,4}& =-{\mathcal{T}}_2(1-{\alpha }_1),{\xi }_{5,5}=-{\mathcal{T}}_3(1-{\alpha }_2),{\xi }_{6,6}=-{\mathcal{T}}_4,{\xi }_{7,7}=-{\mathcal{T}}_5,{\xi }_{8,8}=-{\mathcal{T}}_6.\hfill \end{array}$$

and

$$\begin{array}{cc}\hfill {\pi }_{1,1}& =-2{\mathcal{MR}}_2+{\mathcal{R}}_2{\mathcal{U}}_4{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{R}}_2{\epsilon }_5{\mathcal{R}}_2+{\mathcal{W}}_1+{\mathcal{W}}_2+{\mathcal{W}}_3+{\mathcal{W}}_4+{\mathcal{W}}_5+{\mathcal{W}}_6+{\mathcal{Q}}_2\hfill \\ & +\mu {\mathcal{D}}^T{\mathcal{U}}_1^{-1}\mathcal{D}\mu ,{\pi }_{2,2}=\mu {\mathcal{B}}^T{\mathcal{U}}_2^{-1}\mathcal{B}\mu -{\mathcal{Q}}_2,{\pi }_{3,3}=-{\mathcal{W}}_1(1-{\delta }_1-{\delta }_2),\hfill \\ \hfill {\pi }_{4,4}& =-{\mathcal{W}}_2(1-{\delta }_1),{\pi }_{5,5}=-{\mathcal{W}}_3(1-{\delta }_2),{\pi }_{6,6}=-{\mathcal{W}}_4,{\pi }_{7,7}=-{\mathcal{W}}_5,{\pi }_{8,8}=-{\mathcal{W}}_6.\hfill \end{array}$$

then system (19) is globally asymptotically stable.

Appendix C contains the detailed proof of Theorem 11.

4. Illustrative Example

Example 1.

Consider the fact that system (13), as with the parameters, is

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathsf{𝕕}}_{\mathrm{𝟙𝟙}}\left({\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-0.3,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ -0.1,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕕}}_{\mathrm{𝟙2}}\left({\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-4.05,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_2,\hfill \\ -3.95,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕕}}_{\mathrm{2𝟙}}\left({\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.15,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ 0.05,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕕}}_{22}\left({\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-0.35,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_2,\hfill \\ -0.25,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕒}}_{\mathrm{𝟙𝟙}}\left({\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-0.2,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ 0,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕒}}_{\mathrm{𝟙2}}\left({\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-5.05,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_2,\hfill \\ -4.95,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕒}}_{\mathrm{2𝟙}}\left({\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.05,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ -0.05,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕒}}_{22}\left({\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-0.35,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_2,\hfill \\ -0.25,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕓}}_{\mathrm{𝟙𝟙}}\left({\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.1,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ 0,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕓}}_{\mathrm{𝟙2}}\left({\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.05,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_2,\hfill \\ -0.25,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕓}}_{\mathrm{2𝟙}}\left({\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.05,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ -0.36,\hfill & |{\wp }_{\mathrm{𝟙}}\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕓}}_{22}\left({\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-0.05,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{T}}_2,\hfill \\ -0.11,\hfill & |{\wp }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{T}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕟}}_{\mathrm{𝟙𝟙}}\left({\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.1,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ -0.4,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕟}}_{\mathrm{𝟙2}}\left({\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.06,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_2,\hfill \\ -0.1,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕟}}_{\mathrm{2𝟙}}\left({\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.06,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ -0.5,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕟}}_{22}\left({\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.06,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_2,\hfill \\ -0.3,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕔}}_{\mathrm{𝟙𝟙}}\left({\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.4,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ -0.38,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕔}}_{\mathrm{𝟙2}}\left({\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.2,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_2,\hfill \\ -0.25,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕔}}_{\mathrm{2𝟙}}\left({\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.87,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ -0.5,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕔}}_{22}\left({\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-0.5,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_2,\hfill \\ 0.38,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕖}}_{\mathrm{𝟙𝟙}}\left({\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}1.3,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ -0.2,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathsf{𝕖}}_{\mathrm{𝟙2}}\left({\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}0.28,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_2,\hfill \\ -0.1,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_2,\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕖}}_{\mathrm{2𝟙}}\left({\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-1.1,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \\ -0.4,\hfill & |{\varsigma }_1\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_{\mathrm{𝟙}},\hfill \end{array}\right.\hfill \\ \hfill {\mathsf{𝕖}}_{22}\left({\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)\right)& =\left\{\begin{array}{cc}-0.88,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|\le {\mathcal{W}}_2,\hfill \\ -0.5,\hfill & |{\varsigma }_2\left(\mathsf{𝕥}\right)|>{\mathcal{W}}_2.\hfill \end{array}\right.\hfill \end{array}$$

Here, we take an activation function as $\mathsf{𝕙}\left(\mathsf{𝕤}\right)=\mathsf{𝕘}\left(\mathsf{𝕤}\right)=tanh\left(\mathsf{𝕤}\right)$. Then, let $$\begin{gathered} {\sigma }_1=0.87,{\sigma }_2=0.88,{\alpha }_1=0.27,{\alpha }_2=0.36,\beta =0.75,\tau =0.87,{\eta }_1=0.78,{\eta }_2=0.76, \\ \mu =0.65,{\delta }_1=0.78,{\delta }_2=0.76,\upsilon =0.76. \end{gathered}$$ Then, there exist the matrices as follows:

$$\begin{gathered} \mathcal{R}=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 6\end{array}\right],\mathcal{M}=\left[\begin{array}{cc}0.1& 0\\ 0& 0.2\end{array}\right],\mathcal{D}=\left[\begin{array}{cc}-0.2& -4\\ 0.1& -0.3\end{array}\right], \\ \mathcal{A}=\left[\begin{array}{cc}-0.1& -5\\ 0& -0.3\end{array}\right],\mathcal{B}=\left[\begin{array}{cc}0.1& 0.05\\ 0.05& 0.05\end{array}\right],\mathcal{C}=\left[\begin{array}{cc}0.4& 0.25\\ 0.87& -0.5\end{array}\right], \\ \mathcal{N}=\left[\begin{array}{cc}0.1& 0.06\\ 0.06& 0.06\end{array}\right],\mathcal{E}=\left[\begin{array}{cc}0.3& 0.28\\ -1.1& -0.88\end{array}\right]. \end{gathered}$$

The following feasible solutions are obtained by solving LMIs (14), (15).

$$\begin{gathered} {\mathcal{R}}_1=\left[\begin{array}{cc}1.8987& -0.0564\\ -0.0564& 1.2887\end{array}\right],{\mathcal{R}}_2=\left[\begin{array}{c}98.0141-3.4251\\ -3.4251-0.2475\end{array}\right], \\ {\mathcal{R}}_3=\left[\begin{array}{cc}1.5071& 0.0000\\ 0.0000& 1.5071\end{array}\right],{\mathcal{R}}_4=\left[\begin{array}{cc}1.5071& 0.0000\\ 0.0000& 1.5071\end{array}\right], \\ {\mathcal{T}}_1=\left[\begin{array}{cc}4.0678& 0.0000\\ 0.0000& 4.0680\end{array}\right],{\mathcal{T}}_2=\left[\begin{array}{cc}2.0641& 0.0000\\ 0.0000& 2.0641\end{array}\right], \\ {\mathcal{T}}_3=\left[\begin{array}{cc}2.3541& 0.0000\\ 0.0000& 2.3541\end{array}\right],{\mathcal{T}}_4=\left[\begin{array}{cc}1.4091& 0.0011\\ 0.0011& 1.5072\end{array}\right], \\ {\mathcal{T}}_5=\left[\begin{array}{cc}1.5071& 0.0000\\ 0.0000& 1.5071\end{array}\right],{\mathcal{T}}_6=\left[\begin{array}{cc}1.5071& 0.0000\\ 0.0000& 1.5071\end{array}\right], \\ {\mathcal{Z}}_1=\left[\begin{array}{cc}1.4475& 0.0007\\ 0.0007& 1.5072\end{array}\right],{\mathcal{Z}}_2=\left[\begin{array}{cc}1.4505& 0.0007\\ 0.0007& 1.5072\end{array}\right], \\ {\mathcal{W}}_1=\left[\begin{array}{cc}-3.1255& 0.0039\\ 0.0039& -2.7892\end{array}\right],{\mathcal{W}}_2=\left[\begin{array}{cc}4.8069& 0.0235\\ 0.0235& 6.8262\end{array}\right], \\ {\mathcal{W}}_3=\left[\begin{array}{cc}4.5634& 0.0198\\ 0.0198& 6.2613\end{array}\right],{\mathcal{W}}_4=\left[\begin{array}{cc}1.4091& 0.0011\\ 0.0011& 1.5072\end{array}\right], \\ {\mathcal{W}}_5=\left[\begin{array}{cc}1.4091& 0.0011\\ 0.0011& 1.5072\end{array}\right],{\mathcal{W}}_6=\left[\begin{array}{cc}1.3111& 0.0023\\ 0.0023& 1.5074\end{array}\right], \\ {\mathcal{W}}_7=\left[\begin{array}{cc}0.6275& -0.7118\\ -0.7118& 0.9301\end{array}\right],{\mathcal{W}}_8=\left[\begin{array}{cc}1.4294& -0.1632\\ -0.1632& -6.7240\end{array}\right], \\ {\mathcal{Q}}_1=\left[\begin{array}{cc}1.5456& 0.0540\\ 0.0540& 1.4589\end{array}\right],{\mathcal{Q}}_2=\left[\begin{array}{cc}1.2582& -0.0307\\ -0.0307& 1.4745\end{array}\right]. \end{gathered}$$

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathcal{U}}_1=-2.7767,{\mathcal{U}}_2=-0.3447,{\mathcal{U}}_3=-0.5048,{\mathcal{U}}_4=-0.0022,{\mathcal{U}}_5=0.0643,{\mathcal{U}}_6=-0.9023.\end{array}$$

Therefore, it follows from Theorem 8 that the memristive BAM neural network with given parameters is globally asymptotically stable.

5. Conclusions

There is a new sufficient condition for guaranteeing the globally robust asymptotically stability of the equilibrium point for fractional-order memristive BAM neural networks, with mixed and additive time varying delays. Using the Lyapunov functional and LMI approaches, robust stability results can be obtained. At last, a numerical example is presented. Future research topics are stochastic BAM neural networks, and stochastic recurrent neural networks.