Some q-Fractional Estimates of Trapezoid like Inequalities Involving Raina’s Function

Abstract

In this paper, we derive two new identities involving q-Riemann-Liouville fractional integrals. Using these identities, as auxiliary results, we derive some new q-fractional estimates of trapezoidal-like inequalities, essentially using the class of generalized exponential convex functions.

1. Introduction

A set $\mathcal{C}\subseteq \mathbb{R}$ is said to be convex, if

$$(1-\mathsf{\nu })\mathrm{x}+\mathsf{\nu }\mathrm{y}\in \mathcal{C}$$

for all $\mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathcal{C}$ and $\mathsf{\nu }\in [0,1]$.

A function $\mathcal{F}:\mathcal{C}\to \mathbb{R}$ is said to be convex, if

$$\mathcal{F}\left(\right(1-\mathsf{\nu })\mathrm{x}+\mathsf{\nu }\mathrm{y})\le (1-\mathsf{\nu })\mathcal{F}\left(\mathrm{x}\right)+\mathsf{\nu }\mathcal{F}\left(\mathrm{y}\right)$$

for all $\mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathcal{C}$ and $\mathsf{\nu }\in [0,1]$.

The classical concepts of convexity are simple but have many applications in different fields of pure and applied sciences. For example, they play a significant role in the theory of optimization, mathematical economics, operations research, etc. In recent years, the classical concepts of convexity have been extended and generalized in different directions using novel and innovative ideas. It has been observed that these new generalizations of classical convexity enjoy some nice properties which classical convexity has. Recently, Cortez et al. [1] presented a new generalization of convexity class as follows:

Definition 1

([1]). Let $\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda }>0$ and $\mathsf{\sigma }=\left(\mathsf{\sigma }\right(0),\dots ,\mathsf{\sigma }(\mathrm{k}),\dots )$ be a bounded sequence of positive real numbers. A non-empty set $\mathcal{I}$ is said to be generalized convex, if

$${\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\tau }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\in \mathcal{I}$$

for all ${\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2\in \mathcal{I}$ and $\mathsf{\tau }\in [0,1]$.

Here, ${\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}\left(\mathrm{z}\right)$ is the Raina’s function and is defined as:

$${\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}\left(\mathrm{z}\right)={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda }}^{\mathsf{\sigma }\left(0\right),\mathsf{\sigma }\left(1\right),\dots }\left(\mathrm{z}\right)=\sum _{\mathrm{k}=0}^{\infty }\frac{\mathsf{\sigma }\left(\mathrm{k}\right)}{\mathsf{\Gamma }(\mathsf{\rho }\mathrm{k}+\mathsf{\lambda })}{\mathrm{z}}^{\mathrm{k}},$$

where $\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda }>0,\left|\mathrm{z}\right|<\mathrm{R}$, $\mathsf{\sigma }=\left\{\mathsf{\sigma }\right(0),\mathsf{\sigma }(1),\dots ,\mathsf{\sigma }(\mathrm{k}),\dots \}$ is a bounded sequence of positive real numbers and $\mathsf{\Gamma }\left(\mathsf{\eta }\right)=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\mathrm{x}}^{\mathsf{\eta }-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{d}\mathrm{x}$ is the gamma function. For details, see [2].

Cortez et al. [1] also defined the class of generalized convex functions as:

Definition 2

([1]). Let $\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda }>0$ and $\mathsf{\sigma }=\left(\mathsf{\sigma }\right(0),\dots ,\mathsf{\sigma }(\mathrm{k}),\dots )$ be a bounded sequence of positive real numbers. A function $\mathcal{F}:\mathcal{I}\to \mathbb{R}$ is said to be generalized convex, if

$$\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\tau }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\le (1-\mathsf{\tau })\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathsf{\tau }\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)$$

for all ${\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2\in \mathcal{I}$ and $\mathsf{\tau }\in [0,1]$.

Awan et al. [3] introduced the class of exponential convex functions as:

Definition 3

([3]). A function $\mathcal{F}:\mathcal{C}\to \mathbb{R}$ is said to be exponentially convex, if

$$\mathcal{F}((1-\mathsf{\nu })\mathrm{x}+\mathsf{\nu }\mathrm{y})\le (1-\mathsf{\nu })\frac{\mathcal{F}\left(\mathrm{x}\right)}{exp\left(\mathsf{\alpha }\mathrm{x}\right)}+\mathsf{\nu }\frac{\mathcal{F}\left(\mathrm{y}\right)}{exp\left(\mathsf{\alpha }\mathrm{y}\right)},$$

for all $\mathrm{x},\mathrm{y}\in \mathcal{C}$ and $\mathsf{\nu }\in [0,1]$.

Besides its applications, the theory of convexity has also played a dynamic role in developing the theory of inequalities. A wide class of inequalities is just a direct consequence of the applications of the convexity property of the functions. Hermite–Hadamard’s inequality, also known as trapezium-like inequality, is one of the most studied results. It reads as:

Let $\mathcal{F}:\mathrm{I}\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ be a convex function, then

$$\mathcal{F}\left(\frac{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathsf{\varpi }}_2}{2}\right)\le \frac{1}{{\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_2}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}\le \frac{\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)}{2}.$$

For some recent developments related to Hermite–Hadamard’s inequality and its applications, see [4].

In recent years, several new techniques have been used to obtain new versions of Hermite–Hadamard’s inequality. For instance, Sarikaya et al. [5] utilized the concepts of fractional calculus and obtained the fractional analogues of Hermite–Hadamard’s inequality. Alp et al. [6] obtained quantum analogue of Hermite–Hadamard’s inequality. Awan et al. [3] obtained a new refinement of Hermite–Hadamard’s inequality using the class of exponentially convex functions. Cortez et al. [1] obtained Hermite–Hadamard’s inequality using the class of generalized convex functions. Kunt and Aljasem [7] obtained fractional quantum versions of Hermite–Hadamard type of inequalities. Noor et al. [8] obtained some more quantum estimates for Hermite–Hadamard inequalities using the class of convex functions. Sudsutad [9] obtained various new quantum integral inequalities for convex functions. Zhang et al. [10] obtained a new generalized quantum-integral identity and obtained new q-integral inequalities via $(\mathsf{\alpha },\mathrm{m})$-convexity property of the functions.

The main motivation of this article is to obtain two new identities involving q-Riemann–Liouville fractional integrals. Using these identities as auxiliary results, we derive some new q-fractional estimates of trapezoidal-like inequalities, essentially using the class of generalized exponential convex functions. We hope that the ideas and techniques of this article will inspire interested readers working in this field.

2. Preliminaries

In this section, we recall some previously known concepts and results.

The following concept of $\mathrm{q}$-derivative was introduced and studied in [11].

Definition 4

([11]). For a continuous function $\mathcal{F}:[{\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2]\to \mathbb{R}$ the $\mathrm{q}$-derivative of $\mathcal{F}$ at $\mathrm{x}\in [{\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2]$ is defined as:

$${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathcal{F}\left(\mathrm{x}\right)-\mathcal{F}(\mathrm{q}\mathrm{x}+(1-\mathrm{q}){\mathsf{\varpi }}_1)}{(1-\mathrm{q})(\mathrm{x}-{\mathsf{\varpi }}_1)},\mathrm{x}\ne {\mathsf{\varpi }}_1.$$

(1)

The $\mathrm{q}$-definite integral is defined as:

Definition 5

([11]). Let $\mathcal{F}:[{\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2]\to \mathbb{R}$ be a continuous function. Then the $\mathrm{q}$-definite integral on $[{\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2]$ is defined as:

$$\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }=(1-\mathrm{q})(\mathrm{x}-{\mathsf{\varpi }}_1)\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\mathcal{F}({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\mathrm{x}+(1-{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}){\mathsf{\varpi }}_1),$$

(2)

for $\mathrm{x}\in [{\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2].$

Interesting additional details of the following concepts can be found in [9,12].

$${\left[\mathrm{m}\right]}_{\mathrm{q}}=\frac{1-{\mathrm{q}}^{\mathrm{m}}}{1-\mathrm{q}},\mathrm{m}\in \mathbb{R}.$$

(3)

The $\mathrm{q}$-analogue of power function is defined as, if $\mathsf{\gamma }\in \mathbb{R}$, then

$${(\mathrm{r}-\mathrm{m})}^{\left(\mathsf{\gamma }\right)}={\mathrm{r}}^{\mathsf{\gamma }}\prod _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\frac{\mathrm{r}-{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\mathrm{m}}{\mathrm{r}-{\mathrm{q}}^{\mathsf{\gamma }+\mathrm{n}}\mathrm{m}},\mathrm{r}\ne 0.$$

(4)

The $\mathrm{q}$-gamma function is defined as:

$${\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right)=\frac{{(1-\mathrm{q})}^{(\mathsf{\nu }-1)}}{{(1-\mathrm{q})}^{\mathsf{\nu }-1}},\mathsf{\nu }\in \mathbb{R}/\{0,-1,-2,\dots \}.$$

(5)

For any $\mathrm{s},\mathsf{\nu }>0$, the $\mathrm{q}$-beta function is defined as:

$${\mathrm{B}}_{\mathrm{q}}(\mathrm{s},\mathsf{\nu })=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{u}}^{(\mathrm{s}-1)}{(1-\mathrm{q}\mathrm{u})}^{(\mathsf{\nu }-1)}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathrm{u},$$

(6)

and

$${\mathrm{B}}_{\mathrm{q}}(\mathrm{s},\mathsf{\nu })=\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathrm{s}\right){\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right)}{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathrm{s}+\mathsf{\nu })}.$$

The $\mathrm{q}$-Pochhammer symbol is defined as:

$${(\mathrm{m};\mathrm{q})}_0=1,\mathrm{and}{(\mathrm{m};\mathrm{q})}_{\mathrm{k}}=\prod _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{k}-1}(1-{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\mathrm{m})$$

(7)

for $\mathrm{k}\in \mathbb{N}\cup \{\infty \}.$

Theorem 1

([13]). Suppose $\mathsf{\lambda },\mathsf{\mu }\in \mathbb{R},$ then

$$\underset{\mathrm{q}\to 1^{-}}{lim}\frac{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\lambda }}\mathrm{x};\mathrm{q})}{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\mu }}\mathrm{x};\mathrm{q})}={(1-\mathrm{x})}^{\mathsf{\mu }-\mathsf{\lambda }},$$

(8)

uniformly on $\{\mathrm{x}\in \mathbb{C}:|\mathrm{x}|\le 1\},$ if $\mathsf{\mu }\ge \mathsf{\lambda }$, $\mathsf{\lambda }+\mathsf{\mu }\ge 1$, and uniformly on compact subset of $\{\mathrm{x}\in \mathbb{C}:|\mathrm{x}|\le 1,\mathrm{x}\ne 1\}$ for other choices of μ and λ.

The $\mathrm{q}$-shifting operator is defined as:

$$\begin{array}{c}\hfill {}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathrm{m}\right)=\mathrm{q}\mathrm{m}+(1-\mathrm{q}){\mathsf{\varpi }}_1.\end{array}$$

(9)

For any positive integer k, one has:

$$\begin{array}{c}\hfill {}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{m}\right)={}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}-1}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathrm{m}\right)\right),{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^0\left(\mathrm{m}\right)=\mathrm{m}.\end{array}$$

(10)

The following properties for $\mathrm{q}$-shifting operator hold:

Theorem 2

([9,12]). For any $\mathrm{r},\mathrm{m}\in \mathbb{R}$ and for all positive integers $\mathrm{k},\mathsf{j},$ one has:

1. 

${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{m}\right)={}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}}\left(\mathrm{m}\right)$;

2. 

${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{j}}\left(\mathrm{m}\right))={}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{j}}({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{m}\right))={}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{j}+\mathrm{k}}\left(\mathrm{m}\right)$;

3. 

${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)={\mathsf{\varpi }}_1$;

4. 

${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{m}\right)-{\mathsf{\varpi }}_1={\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}(\mathrm{m}-{\mathsf{\varpi }}_1)$;

5. 

$\mathrm{m}-{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{m}\right)=(1-{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}})(\mathrm{m}-{\mathsf{\varpi }}_1)$;

6. 

${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{m}\right)=\mathrm{m}{}_{\frac{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{m}}}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\left(1\right)$, for $\mathrm{m}\ne 0$;

7. 

${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathrm{m}\right)-{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{r}\right)=\mathrm{q}(\mathrm{m}-{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}-1}\left(\mathrm{r}\right))$.

The power of $\mathrm{q}$-shifting operator is defined as:

$${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{(\mathrm{r}-\mathrm{m})}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\gamma }\right)}={(\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1)}^{\mathsf{\gamma }}\prod _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\frac{\mathrm{r}-{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{m}\right)}{\mathrm{r}-{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\gamma }+\mathrm{n}}\left(\mathrm{m}\right)},\mathsf{\gamma }\in \mathbb{R}.$$

(11)

Theorem 3

([9,12]). For any $\mathsf{\gamma },\mathrm{r},\mathrm{m}\in \mathbb{R},\mathrm{r}\ne {\mathsf{\varpi }}_1$ and $\mathrm{k}\in \mathbb{N}$, one has:

1. 

${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{(\mathrm{r}-\mathrm{m})}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathrm{k}\right)}={(\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1)}^{\mathrm{k}}{\left(\frac{\mathrm{m}-{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1};\mathrm{q}\right)}_{\mathrm{k}}$;

2. 

${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{(\mathrm{r}-\mathrm{m})}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\gamma }\right)}={(\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1)}^{\mathsf{\gamma }}{\displaystyle \prod _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}\frac{1-\frac{\mathrm{m}-{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}}{1-\frac{\mathrm{m}-{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+\mathsf{\gamma }}}={(\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1)}^{\mathsf{\gamma }}\frac{{\left(\frac{\mathrm{m}-{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1};\mathrm{q}\right)}_{\infty }}{{\left(\frac{\mathrm{m}-{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{q}}^{\mathsf{\gamma }};\mathrm{q}\right)}_{\infty }}$;

3. 

${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{(\mathrm{r}-{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{k}}\left(\mathrm{r}\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\gamma }\right)}={(\mathrm{r}-{\mathsf{\varpi }}_1)}^{\mathsf{\gamma }}\frac{{\left({\mathrm{q}}^{\mathrm{k}};\mathrm{q}\right)}_{\infty }}{{\left({\mathrm{q}}^{\mathsf{\gamma }+\mathrm{k}};\mathrm{q}\right)}_{\infty }}$.

Definition 6

([9,12]). Let $\mathsf{\alpha }\ge 0$ and $\mathcal{F}$ be a continuous function on $[{\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2]$. Then the Riemann–Liouville-type fractional quantum integral is given by $\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^0\mathcal{F}\right)\left(\mathsf{\nu }\right)=\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right)$ and

$$\begin{array}{cc}\hfill \left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right)\right)\left(\mathrm{x}\right)& =\frac{1}{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\alpha }\right)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{(\mathrm{x}-{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{(\mathsf{\alpha }-1)}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\frac{(1-\mathrm{q})(\mathrm{x}-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\alpha }\right)}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{(\mathrm{x}-{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}\left(\mathrm{x}\right))}_{\mathrm{q}}^{(\mathsf{\alpha }-1)}\mathcal{F}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{x}\right)\right),\hfill \end{array}$$

(12)

where $\mathsf{\alpha }>0$ and $\mathrm{x}\in [{\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2].$

3. Results and Discussions

In this section, we will discuss our main results. First of all we define the class of generalized exponential convex functions.

Definition 7.

Let $\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda }>0$ and $\mathsf{\sigma }=\left(\mathsf{\sigma }\right(0),\dots ,\mathsf{\sigma }(\mathrm{k}),\dots )$ be a bounded sequence of positive real numbers. A function $\mathcal{F}:\mathcal{I}\to \mathbb{R}$ is said to be generalized exponential convex, if

$$\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\tau }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\le (1-\mathsf{\tau })\frac{\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}+\mathsf{\tau }\frac{\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}$$

for all ${\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2\in \mathcal{I},\mathsf{\tau }\in [0,1]$ and $\mathsf{\chi }\ge 1$.

Note that if we take $\mathsf{\alpha }=0$ or $\mathsf{\chi }=1$, then the class of generalized exponential convex functions reduces to the class of generalized convex functions introduced and studied in [1]. If we take $\mathsf{\chi }=exp$, then we have the class of exponentially convex functions involving Raina’s function. This class is defined as:

Definition 8.

Let $\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda }>0$ and $\mathsf{\sigma }=\left(\mathsf{\sigma }\right(0),\dots ,\mathsf{\sigma }(\mathrm{k}),\dots )$ be a bounded sequence of positive real numbers. A function $\mathcal{F}:\mathcal{I}\to \mathbb{R}$ is said to be generalized exponential convex, if

$$\begin{array}{c}\hfill \mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\tau }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\le (1-\mathsf{\tau })\frac{\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)}{exp\left(\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1\right)}+\mathsf{\tau }\frac{\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)}{exp\left(\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2\right)}\end{array}$$

for all ${\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_2\in \mathcal{I}$ and $\mathsf{\tau }\in [0,1]$.

Now, we derive our auxiliary results. Before we proceed, for the sake of simplicity, we consider $\mathsf{\Omega }=[{\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)]$ and ${\mathsf{\Omega }}^{\circ }=({\mathsf{\varpi }}_1,{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))$.

Lemma 1.

Let $\mathcal{F}:\mathsf{\Omega }\to \mathbb{R}$ be a continuous function and $\mathsf{\alpha }>0$. If ${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}$ is $\mathrm{q}$-integrable on ${\mathsf{\Omega }}^{\circ }$, then

$$\begin{array}{cc}\hfill & \frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1)\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\hfill \\ \hfill & =\frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\hfill \end{array}$$

(13)

Proof. 

It suffices to show that

$$\begin{array}{cc}\hfill & \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\underset{0}{\overset{1}{\int }}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & -\frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & ={\mathcal{S}}_1-{\mathcal{S}}_2.\hfill \end{array}$$

(14)

Now,

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathcal{S}}_1& ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\underset{0}{\overset{1}{\int }}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\underset{0}{\overset{1}{\int }}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathrm{q}\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{(1-\mathrm{q}){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\mathsf{\nu }}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{1-\mathrm{q}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{\mathsf{\nu }}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & -\frac{1}{1-\mathrm{q}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathrm{q}\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{\mathsf{\nu }}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}\left(1\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\frac{\mathcal{F}{\displaystyle (}{\mathsf{\varpi }}_1+{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\left(1\right){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\left(1\right)}\hfill \\ \hfill & -\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}\left(1\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\frac{\mathcal{F}{\displaystyle (}{\mathsf{\varpi }}_1+\mathrm{q}{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\left(1\right){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\left(1\right)}\hfill \\ \hfill & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}-{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}(1-{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}})\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}-{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}(1-{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1})\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+2};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}-{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+2};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & =\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}-{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+2}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+2};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & =\frac{{({\mathrm{q}}^1;\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)\hfill \\ \hfill & -\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}-{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=1}^{\infty }}{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & =\frac{{({\mathrm{q}}^1;\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)\hfill \\ \hfill & -\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}-{\displaystyle \sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }}{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\\ +\frac{{({\mathrm{q}}^1;\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\hfill & =-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+(1-{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}})\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\hfill \\ \hfill & =-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+{\left[\mathsf{\alpha }\right]}_{\mathrm{q}}(1-\mathrm{q})\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\hfill \\ \hfill & =-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\frac{{\left[\mathsf{\alpha }\right]}_{\mathrm{q}}{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\alpha }\right)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\hfill \\ \hfill & \times \left(\frac{(1-\mathrm{q}){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\alpha }\right)}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathsf{\zeta }}^{\mathsf{\alpha }-1}({\mathsf{\varpi }}_2,{\mathsf{\varpi }}_1)\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }+\mathrm{n}};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\right)\hfill \\ \hfill & =-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\hfill \\ \hfill & \times \left(\frac{(1-\mathrm{q}){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\alpha }\right)}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathsf{\zeta }}^{\mathsf{\alpha }-1}({\mathsf{\varpi }}_2,{\mathsf{\varpi }}_1)\frac{{({\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1};\mathrm{q})}_{\infty }}{{({\mathrm{q}}^{(\mathsf{\alpha }+1)+(\mathrm{n}+1)};\mathrm{q})}_{\infty }}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\right)\hfill \\ \hfill & =-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}(\frac{(1-\mathrm{q}){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\alpha }\right)}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\hfill \\ \hfill & -{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}{({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}_{\mathrm{q}}^{(\mathsf{\alpha }-1)}\mathcal{F}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right))\hfill \\ \hfill & =-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\hfill \\ \hfill & \times \left(\frac{1}{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\alpha }\right)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{\int }}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)-{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{(\mathsf{\alpha }-1)}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)\hfill \\ \hfill & =-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)).\hfill \end{array}$$

(15)

Similarly, we have

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathcal{S}}_2& =\frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathrm{q}\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{(1-\mathrm{q}){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\mathsf{\nu }}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{(1-\mathrm{q}){[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{\mathsf{\nu }}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & -\frac{1}{(1-\mathrm{q}){[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathrm{q}\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{\mathsf{\nu }}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\left[\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right]\hfill \\ \hfill & =\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}.\hfill \end{array}$$

(16)

Using the equalities (15) and (16) in (14), we obtain the desired result. □

Corollary 1.

Under the assumptions of Lemma 1, if we choose $\mathsf{\alpha }=1$, then

$$\begin{array}{cc}\hfill & \frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }-\frac{\mathrm{q}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{1+\mathrm{q}}\hfill \\ \hfill & =\frac{\mathrm{q}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{1+\mathrm{q}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-(1+\mathrm{q})\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\hfill \end{array}$$

(17)

Lemma 2.

Let $\mathcal{F}:\mathsf{\Omega }\to \mathbb{R}$ be a continuous function and $\mathsf{\alpha }>0$. If ${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}$ is $\mathrm{q}$-integrable on ${\mathsf{\Omega }}^{\circ }$, then the following equality holds:

$$\begin{array}{cc}\hfill & \mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\hfill \\ \hfill & ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\left(1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}(-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right].\hfill \end{array}$$

(18)

Proof. 

Let ${\mathrm{S}}_3=\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.$ Then

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{S}}_3=& \underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathrm{q}\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{(1-\mathrm{q}){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\mathsf{\nu }}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{(1-\mathrm{q}){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{\mathsf{\nu }}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & -\frac{1}{(1-\mathrm{q}){\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\frac{\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathrm{q}\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{\mathsf{\nu }}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1){[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\frac{\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+\frac{{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)}{\frac{{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}\hfill \\ \hfill & -\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1){[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}\frac{\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+\frac{{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)}{\frac{{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left[\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+\frac{{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}}}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)-\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1+\frac{{\mathrm{q}}^{\mathrm{n}+1}}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\right)\right]\hfill \\ \hfill & =\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left[\mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)\right].\hfill \end{array}$$

(19)

By (15), we have

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathcal{S}}_1& ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\underset{0}{\overset{1}{\int }}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)).\hfill \end{array}$$

(20)

Using the equalities (19) and (20), we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\hfill \begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\left(1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}& \\ \begin{array}{c}+\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}-\underset{0}{\overset{1}{\int }}{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left[\mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)\right]\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}-\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left[-\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right]\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & =\mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)).\hfill \end{array}$$

This completes the proof. □

Corollary 2.

Under the assumptions of Lemma 2, if we take $\mathsf{\alpha }=1$, then the following result holds:

$$\begin{array}{cc}\hfill & \mathcal{F}\left(\frac{(1+\mathrm{q}){\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{1+\mathrm{q}}\right)-\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\mathrm{q}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{1}{1+\mathrm{q}}}{\int }}\mathsf{\nu }{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+\underset{\frac{1}{1+\mathrm{q}}}{\overset{1}{\int }}\left(\mathsf{\nu }-\frac{1}{\mathrm{q}}\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right].\hfill \end{array}$$

(21)

Theorem 4.

Let $\mathcal{F}:\mathsf{\Omega }\to \mathbb{R}$ be a continuous function and $\mathsf{\alpha }>0$ and ${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}$ be $\mathrm{q}$-integrable on ${\mathsf{\Omega }}^{\circ }$. If $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}|$ is generalized exponential convex on Ω, then

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1)\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}({\mathrm{A}}_1\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}+{\mathrm{A}}_2\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}),\hfill \end{array}$$

(22)

where

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{A}}_1& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu },\hfill \end{array}$$

and

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{A}}_2& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\hfill \end{array}$$

Proof. 

Using the Lemma (17), property of modulus and the generalized exponential convexity of $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}|$, we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1)\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|\left[(1-\mathsf{\nu })\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}+\mathsf{\nu }\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}\right]{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & =\frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & =\frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}(\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}{\mathrm{A}}_1+\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}{\mathrm{A}}_2),\hfill \end{array}$$

which completes the proof. □

Corollary 3.

Under the assumptions of Theorem 4, if we choose $\mathsf{\alpha }=1$, then we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }-\frac{\mathrm{q}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{1+\mathrm{q}}\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathrm{q}}^2{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{(1+\mathrm{q})}^4}\left({\mathrm{A}}_1^{*}\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}+{\mathrm{A}}_2^{*}\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}\right),\hfill \end{array}$$

(23)

where

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{A}}_1^{*}=\frac{\mathrm{q}+3{\mathrm{q}}^3+2{\mathrm{q}}^4}{1+\mathrm{q}+{\mathrm{q}}^2},\end{array}$$

and

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{A}}_2^{*}=\frac{1+4\mathrm{q}+{\mathrm{q}}^2}{1+\mathrm{q}+{\mathrm{q}}^2}.\end{array}$$

Theorem 5.

Let $\mathcal{F}:\mathsf{\Omega }\to \mathbb{R}$ be a continuous function and $\mathsf{\alpha }>0$ and ${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}$ be $\mathrm{q}$-integrable on ${\mathsf{\Omega }}^{\circ }$. If $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}{\mathcal{F}|}^{\mathrm{r}}$ is generalized exponential convex on Ω for $\mathrm{r}>1$ and ${\mathrm{p}}^{-1}+{\mathrm{r}}^{-1}=1$, then the following inequality holds:

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1)\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\mathrm{A}}_3^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left(\frac{\mathrm{q}{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}+|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}{\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)}^{\mathrm{r}}}{1+\mathrm{q}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}},\hfill \end{array}$$

(24)

where

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{A}}_3& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\hfill \end{array}$$

Proof. 

Using Lemma (17), Hölder’s integral inequality and generalized exponential convexity of $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}{\mathcal{F}|}^{\mathrm{r}}$, we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1)\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|\left|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|}^{\mathrm{r}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}\hfill \\ \hfill & \times {\left({\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \hfill & =\frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left(\frac{\mathrm{q}{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}}{1+\mathrm{q}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}},\hfill \end{array}$$

which completes the proof. □

Corollary 4.

Under the assumptions of Theorem 5, if we choose $\mathsf{\alpha }=1$, then we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }-\frac{\mathrm{q}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{1+\mathrm{q}}\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{\mathrm{q}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{(1+\mathrm{q})}{{\mathrm{A}}_3^{*}}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left(\frac{\mathrm{q}{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}+|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}{\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)}^{\mathrm{r}}}{1+\mathrm{q}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}},\hfill \end{array}$$

(25)

where

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{A}}_3^{*}& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left|1-(1+\mathrm{q})\mathsf{\nu }\right|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\hfill \end{array}$$

Theorem 6.

Let $\mathcal{F}:\mathsf{\Omega }\to \mathbb{R}$ be a continuous function and $\mathsf{\alpha }>0$ and ${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}$ be $\mathrm{q}$-integrable on ${\mathsf{\Omega }}^{\circ }$. If $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}{\mathcal{F}|}^{\mathrm{r}}$ is generalized exponential convex on Ω for $\mathrm{r}\ge 1$, then the following inequality holds:

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1)\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\mathrm{A}}_4^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}{\left({\mathrm{A}}_1{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}+{\mathrm{A}}_2{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}},\hfill \end{array}$$

(26)

where ${\mathrm{A}}_1,{\mathrm{A}}_2$ are given in Theorem 4 and ${\mathrm{A}}_4$ is given as:

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{A}}_4& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\hfill \end{array}$$

Proof. 

Using Lemma (17), the power mean integral inequality and generalized exponential convexity of $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}{\mathcal{F}|}^{\mathrm{r}}$, we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))-\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1)\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|\left|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \hfill & \times {\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|{\left|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|}^{\mathrm{r}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \hfill & \times {\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|\left[{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}(1-\mathsf{\nu })+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\mathsf{\nu }\right]{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \hfill & \le \frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \hfill & \times {\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\left|{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}{}_0{(1-{}_0{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}-1\right|\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right]}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \hfill & =\frac{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}{\mathrm{A}}_4^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}{\left({\mathrm{A}}_1{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}+{\mathrm{A}}_3{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}},\hfill \end{array}$$

which completes the proof. □

Corollary 5.

Under the assumptions of Theorem 6, if we choose $\mathsf{\alpha }=1$, then we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }-\frac{\mathrm{q}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{1+\mathrm{q}}\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{\mathrm{q}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{(1+\mathrm{q})}{{\mathrm{A}}_4^{*}}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}{\left({\mathrm{A}}_1^{*}\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right){|}^{\mathrm{r}}}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}+{\mathrm{A}}_2^{*}\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right){|}^{\mathrm{r}}}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}},\hfill \end{array}$$

(27)

where ${\mathrm{A}}_1^{*}$, ${\mathrm{A}}_2^{*}$ are already defined in Corollary 3 and

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{A}}_4^{*}=\frac{2\mathrm{q}+{\mathrm{q}}^2+{\mathrm{q}}^4}{{(1+\mathrm{q})}^3}.\end{array}$$

Theorem 7.

Let $\mathcal{F}:\mathsf{\Omega }\to \mathbb{R}$ be a continuous function and $\mathsf{\alpha }>0$ and ${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}$ be $\mathrm{q}$-integrable on ${\mathsf{\Omega }}^{\circ }$. If $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}|$ is generalized exponential convex on Ω, then

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[({\mathrm{A}}_5+{\mathrm{A}}_7)\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}+({\mathrm{A}}_6+{\mathrm{A}}_8)\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}\right],\hfill \end{array}$$

(28)

where

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{A}}_5& =\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\left|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\right|(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill {\mathrm{A}}_6& =\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\left|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\right|\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill {\mathrm{A}}_7& =\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\hfill \\ \hfill {\mathrm{A}}_8& =\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\hfill \end{array}$$

Proof. 

Using Lemma (21) and the generalized exponential convexity of $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}|$, we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\left|\right|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\left|\right|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|[(1-\mathsf{\nu })\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}+\mathsf{\nu }|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)]{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|[(1-\mathsf{\nu })|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)+\mathsf{\nu }\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}]{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}\left[\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }+\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right]\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}\left[\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}{\left(\mathsf{\nu }\right)}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)})|\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }+\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right]\end{array}\hfill \end{array}\right].\hfill \end{array}$$

This completes the proof. □

Corollary 6.

Under the assumptions of Theorem 7, if we set $\mathsf{\alpha }=1$, then we have the following inequality

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\mathcal{F}\left(\frac{(1+\mathrm{q}){\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{1+\mathrm{q}}\right)-\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right|\hfill \\ \hfill & \le \frac{\mathrm{q}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{(1+\mathrm{q}+{\mathrm{q}}^2){(1+\mathrm{q})}^4}\left[3\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}+(2{\mathrm{q}}^2+2\mathrm{q}-1)\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}\right].\hfill \end{array}$$

Theorem 8.

Let $\mathcal{F}:\mathsf{\Omega }\to \mathbb{R}$ be a continuous function and $\mathsf{\alpha }>0$ and ${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}$ be $\mathrm{q}$-integrable on ${\mathsf{\Omega }}^{\circ }$. If $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}{\mathcal{F}|}^{\mathrm{r}}$ is generalized exponential convex on Ω, then the following inequality holds for ${\mathrm{p}}^{-1}+{\mathrm{r}}^{-1}=1:$

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\mathrm{A}}_9^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left({\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{(1+\mathrm{q}){[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1}{(1+\mathrm{q}){\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}\right)}^2}\right)+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{1}{(1+\mathrm{q}){\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}\right)}^2}\right)\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+{\mathrm{A}}_{10}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left({\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{\mathrm{q}}{1+\mathrm{q}}-\frac{(1+\mathrm{q}){[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1}{(1+\mathrm{q}){\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}\right)}^2}\right)+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{1}{1+\mathrm{q}}-\frac{1}{(1+\mathrm{q}){\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}\right)}^2}\right)\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}\hfill \end{array}\right],\hfill \end{array}$$

(29)

where

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{A}}_9& =\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\left|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\right|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu },\hfill \end{array}$$

and

$$\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{A}}_{10}& =\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\hfill \end{array}$$

Proof. 

Using Lemma (21), Hölder’s inequality and the generalized exponential convexity of $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}{\mathcal{F}|}^{\mathrm{r}}$, we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\left|\right|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\left|\right|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\left(\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}{|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}{\left|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|}^{\mathrm{r}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+{\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}{|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}{\left|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|}^{\mathrm{r}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\hfill \begin{array}{c}{\left(\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}{|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}\\ \times {\left[{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right]}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}& \\ \hfill \begin{array}{c}+{\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}{|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}\\ \times {\left[{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right]}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}\end{array}\right]\hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{cc}\hfill & ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\hfill {\left(\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}{|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}\hfill \\ \times {\left({\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{(1+\mathrm{q}){[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1}{(1+\mathrm{q}){\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}\right)}^2}\right)+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{1}{(1+\mathrm{q}){\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}\right)}^2}\right)\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}\hfill +{\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}{|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}\hfill \\ \times {\left({\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{\mathrm{q}}{1+\mathrm{q}}-\frac{(1+\mathrm{q}){[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1}{(1+\mathrm{q}){\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}\right)}^2}\right)+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{1}{1+\mathrm{q}}-\frac{1}{(1+\mathrm{q}){\left({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}\right)}^2}\right)\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \end{array}\hfill \end{array}\right].\hfill \end{array}$$

This completes the proof. □

Corollary 7.

Under the assumptions of Theorem 8, if we set $\mathsf{\alpha }=1$, then

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\mathcal{F}\left(\frac{(1+\mathrm{q}){\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{1+\mathrm{q}}\right)-\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right|\hfill \\ \hfill & \le \mathrm{q}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[{{\mathrm{A}}_9^{*}}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left({\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{{\mathrm{q}}^2+2\mathrm{q}}{{(1+\mathrm{q})}^3}\right)+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{1}{{(1+\mathrm{q})}^3}\right)\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\right.\hfill \\ \hfill & \left.+{{\mathrm{A}}_{10}^{*}}^{\frac{1}{\mathrm{p}}}{\left({\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{{\mathrm{q}}^3+{\mathrm{q}}^2-\mathrm{q}}{{(1+\mathrm{q})}^3}\right)+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{{\mathrm{q}}^2+2\mathrm{q}}{{(1+\mathrm{q})}^3}\right)\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\right],\hfill \end{array}$$

(30)

where

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{A}}_9^{*}=\frac{(1-\mathrm{q})}{{(1+\mathrm{q})}^{\mathrm{p}+1}(1-{\mathrm{q}}^{\mathrm{p}+1})}\end{array}$$

and

$$\begin{array}{cc}\hfill & {\mathrm{A}}_{10}^{*}={\int }_{\frac{1}{1+\mathrm{q}}}^1{\left(\frac{1}{\mathrm{q}}-\mathsf{\nu }\right)}^{\mathrm{p}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\hfill \end{array}$$

Theorem 9.

Let $\mathcal{F}:\mathsf{\Omega }\to \mathbb{R}$ be a continuous function and $\mathsf{\alpha }>0$ and ${}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}$ be $\mathrm{q}$-integrable on ${\mathsf{\Omega }}^{\circ }$. If $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}{\mathcal{F}|}^{\mathrm{r}},\mathrm{r}\ge 1$ is generalized exponential convex on Ω, then

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|\hfill \\ \hfill & ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\mathrm{A}}_9^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}{\left[{\mathrm{A}}_5{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}+{\mathrm{A}}_6{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\right]}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+{\mathrm{A}}_{10}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}{\left[{\mathrm{A}}_7{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}+{\mathrm{A}}_8{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\right]}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}\hfill \end{array}\right],\hfill \end{array}$$

where

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{A}}_9=\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}\left|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\right|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}$$

and

$$\begin{array}{c}\hfill {\mathrm{A}}_{10}=\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }.\end{array}$$

Proof. 

Using Lemma (21), power mean integral inequality and the generalized exponential convexity of $|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}{\mathcal{F}|}^{\mathrm{r}}$, we have

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\mathcal{F}\left(\frac{({[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}-1){\mathsf{\varpi }}_1+({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}\right)-\frac{{\mathsf{\Gamma }}_{\mathrm{q}}(\mathsf{\alpha }+1)}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}^{\mathsf{\alpha }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\left({}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{J}}_{\mathrm{q}}^{\mathsf{\alpha }}\mathcal{F}\right)({\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))\right|\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\left|\right|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\left|\right|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1))|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\left(\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}\\ \times {\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|1-{}_0(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}{\left(\mathsf{\nu }\right)}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)})\left|\right|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){|}^{\mathrm{r}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}+{\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}\\ \times {\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}\left|\right|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}({\mathsf{\varpi }}_1+\mathsf{\nu }{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)){|}^{\mathrm{r}}{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & \le {\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}{\left(\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}\\ \times {\left(\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}{\left(\mathsf{\nu }\right)}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)})|\left[(1-\mathsf{\nu }){\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}+\mathsf{\nu }{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\right]{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}\hfill +{\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \times {\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|\left[(1-\mathsf{\nu }){\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}+\mathsf{\nu }{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\right]{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \\ \hfill & ={\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{c}\hfill {\left(\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \times {\left[{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\underset{0}{\overset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\int }}|1-{}_0(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}{\left(\mathsf{\nu }\right)}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)})|\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right]}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \end{array}\hfill & \\ \begin{array}{c}\hfill +{\left(\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right)}^{1-\frac{1}{\mathrm{r}}}\hfill \\ \times {\left[{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|(1-\mathsf{\nu }){}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\underset{\frac{1}{{[\mathsf{\alpha }+1]}_{\mathrm{q}}}}{\overset{1}{\int }}|-{}_0{(1-{\mathsf{\Phi }}_{\mathrm{q}}\left(\mathsf{\nu }\right))}_{\mathrm{q}}^{\left(\mathsf{\alpha }\right)}|\mathsf{\nu }{}_0{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right]}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}.\hfill \end{array}\hfill \end{array}\right]\hfill \end{array}$$

This completes the proof. □

Corollary 8.

Under the assumptions of Theorem 9, if we set $\mathsf{\alpha }=1$, then

$$\begin{array}{cc}\hfill & \left|\mathcal{F}\left(\frac{(1+\mathrm{q}){\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{1+\mathrm{q}}\right)-\frac{1}{{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}\underset{{\mathsf{\varpi }}_1}{\overset{{\mathsf{\varpi }}_1+{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)}{\int }}\mathcal{F}\left(\mathsf{\nu }\right){}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{d}}_{\mathrm{q}}\mathsf{\nu }\right|\hfill \\ \hfill & \le \mathrm{q}{\mathcal{R}}_{\mathsf{\rho },\mathsf{\lambda },\mathsf{\sigma }}({\mathsf{\varpi }}_2-{\mathsf{\varpi }}_1)\left(\frac{1}{{(1+\mathrm{q})}^3}\right)\left[{\left({\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{{\mathrm{q}}^2+\mathrm{q}}{(1+\mathrm{q}+{\mathrm{q}}^2)}\right)+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{1}{(1+\mathrm{q}+{\mathrm{q}}^2)}\right)\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\right.\hfill \\ \hfill & \left.+{\left({\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_1\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_1}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{{\mathrm{q}}^2+\mathrm{q}-1}{1+\mathrm{q}+{\mathrm{q}}^2}\right)+{\frac{|{}_{{\mathsf{\varpi }}_1}{\mathrm{D}}_{\mathrm{q}}\mathcal{F}\left({\mathsf{\varpi }}_2\right)|}{{\mathsf{\chi }}^{\mathsf{\alpha }{\mathsf{\varpi }}_2}}}^{\mathrm{r}}\left(\frac{2}{1+\mathrm{q}+{\mathrm{q}}^2}\right)\right)}^{\frac{1}{\mathrm{r}}}\right].\hfill \end{array}$$

4. Conclusions

We have introduced the class of generalized exponential convex functions involving Raina’s function. We have derived two new identities involving q-Riemann–Liouville fractional integrals. Using these identities, as auxiliary results, we have derived several new q-fractional estimates of trapezoidal-like inequalities, essentially using the class of generalized exponential convex functions. We hope that the ideas within this paper will inspire interested readers. The results of this paper can be extended by using other classes of convexity, for instance by using the exponential preinvexity property of the functions. One can also extend these results using the concepts of post-quantum calculus, which is an interesting problem for future research. It is worth mentioning here that many inequalities e.g., Lipschitz, Hölders, Minkowski, etc., are used to solve the control problems and stability analysis for dynamical systems; for details, see [14,15,16,17,18,19]. So it can also be an interesting problem for future research to use the inequalities obtained in this paper to solve physical problems.